السائل والمجيب رياضيات
رياضيات

 الشكل ( 2 )
سؤال: ينزلق سلم طوله 6م على حائط رأسي نحو الأرض وضح شكل المحل الهندسي لنقطة منتصف السلم واكتب معادلة حركة نقطة المنتصف؟

السؤال ليس من منهاج البكالوريا السورية
ومع ذلك إليك الحل بالترميز اللاتيني في المرفق

A
x
y
o
 الشكل ( 1 )
 

 
 
 
 
 
 

 

 
إذن : حامل المحل الهندسي للنقطة A منتصف السلم هو دائرة مركزها المبدأ ونصف قطرها ( 3 ) .
وبما أن x 0 y 0   فإن النقطة A تتحرك على ربع الدائرة المذكورة .
الأستاذ: عبد الحميد السيد
فيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: كيف نكون جدول تكراري؟ ونستخرج منه الجدول التكراري الصاعد والنازل والنسبي والنسبي الصاعد والنسبي النازل؟
 أولا" – جدول التوزيع النكراري :
يتم وضع سطرين أفقيين الأول يحوي القياس ( xi ) والثاني عدد تكرار القياس ( fi ) .
ونقابل كل قياس بعدد تكراره . ( يمكن وضع عمودين بدل السطرين )
@ مثال : أنشئ جدول التوزيع التكراري للعينة :
8
5
9
3
6
4
2
5
7
6
5
3
9
2
7
5
8
4
9
6
5
4
2
4
4
6
7
4
3
3
5
9
7
5
8
6
7
5
3
8
الحل : ( لاحظ : 2 تم تكراره 3 مرات , 3 تم تكراره 5 مرات , 4 تم تكراره 6 مرات , وهكذا ..... ) نجد :
9
8
7
6
5
4
3
2
xi   ( القياس )
4
4
5
5
8
6
5
3
fi   عدد تكرار القياس xi
 
ثانيا" – جدول التوزيع النكراري الفئوي :
يتم وضع سطرين أفقيين الأول يحوي الفئة والثاني يحوي التكرار . ( أو عمودين )
تقسم العينة ( القياسات ) إلى فئات متساوية الطول ثم يوضع تكرار كل فئة ( وهو مجموع تكرارات قياساتها ) 
@ مثال : في المثال السابق أوجد جدول التوزيع التكراري الفئوي .
الحل : نقسم القياسات إلى فئات طول كل منها 2 كما يأتي :
الفئة الأولى : تضم القياسين 3 , 2 ويعبر عنها بـ [ 2 , 4 [ 
الفئة الثانية : تضم القياسين 5 , 4   ويعبر عنها بـ [ 4 , 6 [ 
الفئة الثالثة : تضم القياسين 7 , 6   ويعبر عنها بـ [ 6 , 8 [
الفئة الرابعة : تضم القياسين 8 , 9 ويعبر عنها بـ [ 8 , 9 ] فنحصل على :
[ 8 , 9 ]
[ 6 , 8 [
[ 4 , 6 [
[ 2 , 4 [
xi   ( الفئة )
8
10
14
8
fi   (التكرار)
ملاحظة : طول الفئة = الفرق بين حديها , مركز الفئة = المتوسط الحسابي لحديها ( مركز الفئة الثالثة  )
ثالثا" – جدول التوزيع النسبي والتوزيع النسبي المئوي : 
النسبي : يضاف إلى جدول التوزيع التكراري سطرا" نضع فيه ناتج قسمة كل تكرار على مجموع التكرارات . 
النسبي المئوي : يضاف سطرا" للجدول الأخير نضع فيه جداء كل تكرار نسبي بـ 100 .
لاحظ : مجموع التكرار النسبي = 1 , مجموع التكرار النسبي المئوي = 100
 رابعا" – جدول التكرار المتجمع الصاعد والمتجمع النازل ( الهابط ) :
الصاعد : نضع أول تكرار , ونحصل على الثاني بجمع التكرار الأول مع التكرار الثاني , ثم نحصل على الثالث
بجمع النتيجة السابقة مع التكرار الثالث ..... وهكذا .
……. xn
x3 
x2
x1
xi   ( الفئة )
…… + fn
f1 + f2 + f3
f1 + f2
f1
النسبي الصاعد 
 
النازل : نضع آخر تكرار ( نبدأ من عنده ) ونحصل على الذي قبله بجمع التكرار الأخير مع سابقه .... وهكذا .
@ مثال : أوجد جدول التكرار المتجمع الصاعد والتكرار المتجمع النازل للعينة الاحصائية :
[ 8 , 9 ]
[ 6 , 8 [
[ 4 , 6 [
[ 2 , 4 [
xi   ( الفئة )
0.2
0.25
0.35
0.2
fi   (التكرارالنسبي)
الحل : 
[ 8 , 9 ]
[ 6 , 8 [
[ 4 , 6 [
[ 2 , 4 [
xi   ( الفئة )
0.2
0.25
0.35
0.2
fi   (التكرار النسبي)
0.8 + 0.2 = 1
0.55 + 0.25 = 0.8
0.2 + 0.35 = 0.55
0.2
النسبي الصاعد
0.2
0.2 + 0.25 = 0.45
0.45 + 0.35 = 0.8
0.8 + 0.2 = 1
النسبي النازل
 
رياضيات
سؤال: كيفية اشتقاق شعاع ما ارجو ان تكون الرموز بالفرنسي
إذا كان الشعاع ثابتا" فمشتقه معدوم أما إذا كان متغيرا" فهو تابع لمتحول ما
فمشتقه ( بشكل عام ) يساوي نسبة تغير الشعاع على تغير المتحول ( في المرفق مثال )
     إذا كان p شعاعا" تابعا" للمتحول t ( مثلا" ) فإن مشتق الشعاع p يعطى بالعلاقة :   
مثال : نعلم أن شعاع السرعة هو مشتق شعاع الموضع بالنسبة للزمن أي :   
فإذا كان شعاع الموضع في مستو ٍ منسوب إلى جملة متعامد نظامية يعطى بالعلاقة :   
فإن شعاع السرعة في تلك الجملة : 
 
حيث : v x مركبة شعاع السرعة على المحور ox ( مسقط شعاع السرعة على المحور ox )
v y مركبة شعاع السرعة على المحور oy ( مسقط شعاع السرعة على المحور oy )
الأستاذ: عبد الحميد السيد
فيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: شرح لزاوية الثنائية بالكامل مع التفصيل وشكرا
الزاوية الثنائية بين مستويين : هي الزاوية الحادة بين العمودين على المستويين أو بين العمودين على الفصل المشترك لهما .
الفصل المشترك لمستويين يتحدد كما يأتي :

P  
o
A  
N
B
C  
D  
E  
F  
لنأخذ مثال : هرم منتظم قاعدته مسدس منتظم .

1 ) إذا كان المستويين يشتركان بمستقيم فإن هذا المستقيم هو الفصل المشترك لهما .
مثل المستويين ( PAB ) , ( PBC ) فصلهما المشترك هو [ PB ]
والزاوية الثنائية هي الزاوية بين العمودين من A و C على الفصل المشترك .
2 ) إذا كان المستويين يشتركان بنقطة نميز حالتين :
a . إذا كان في المستويين مستقيمين متوازيين
مثل المستويين ( PBC ) , ( PFE )
فإن الفصل المشترك للمستويين هو مستقيم يمر من النقطة المشتركة ويوازي المستقيمين المتوازيين فيهما .
والزاوية الثنائية هي الزاوية بين الارتفاعين النازلين من P على كل من [ BC ] و [ FE ] .
b . إذا لم يكن في المستويين مستقيمين متوازيين
مثل المستويين ( PBC ) , ( PED )
فإننا نمدد مستقيم من الأول ( BC® ) ومستقيم من الثاني ( ED ® ) بحيث يتقاطعان في نقطة N
فتحصل على نقطة مشتركة جديدة للمستويين عندها نصلها بالنقطة المشتركة الأولى P فنحصل على
الفصل المشترك .
والزاوية الثنائية هي الزاوية بين العمودين من B و E على [ PN ] .
ملاحظة : هذه أهم الحالات واشملها للفصل المشترك بين مستويين والزاوية الثنائية بينهما . 
 
رياضيات
سؤال: اذا كان مربع طول المماس الرسوم من النقطة (-1و3) للدائرة 2س تربيع +3ص تربيع +أس = 8 هي 4 فما قيمة أ ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
3 س2 + 3 ص2 + أ س – 8 = 0 , ن ( - 1 , 3 )
Üس2 + ص2 +  أ  س     8  = 0
                         3           3  
مركز الدائرة : م (     أ  , 0 ) ومربع نصف قطرها : نق2      أ2   +  64 
                                 6                                         36        9    
    مربع طول المماس : ل2 = [ م ن ]2 – نق2
                               4 = ( - 1 +  أ  )2 + ( 3 – 0 )2 -   أ2  -  64 
                                                 6                          36      9 
4 = 1 -  أ  +  أ2  + 9 -  أ2  -  64 Ü أ        10
            3     36          36     9                   3  
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: اوجد ميل المماس للمنحنى ص تربيع -س ص =2 عند النقطة (س ,2)؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
        ص2 - س . ص = 2
ص = 2 نعوض في المعادلة : 4 – 2 س = 2 Ü س = 1
نقطة التماس ( 1 , 2 )
نشتق ( نفاضل ) الطرفين : 2 ص . ص/ - ( ص + ص/ . س ) = 0
( 2 ص – س ) ص/ = ص
ص/           ص      Ü مـ       2        2  
         2 ص – س              4 – 1     3  
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: اذا كانت س تربيع +ص تربيع +3س - 4 ص =1 فاوجد ءص على ءس عند النقطة (1,3)؟؟؟؟
       س2 + ص2 + 3 س – 4 ص = 1  
       نفاضل الطرفين :2 س + 2 ص . ص/ + 3 – 4 ص/ = 0
             ( 2 ص – 4 ) ص/ = - 2 س – 3
 ص/      ء ص     2 س + 3  Ü ء ص    2 × 3 + 3     9
             ء س     4 – 2 ص        ء س     4 – 2 × 1    2 
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
فيزياء
سؤال: ما هو الفرق بين الكتلة والثقل وشكرا
الكتلة : هي عطالة الجسم أي ممانعة الجسم لتغير شعاع سرعته وهي قيمة موجبة تماما" وثابتة وتقدر بواحدة الكيلو غرام . الثقل : هي قوة جذب الأرض للجسم وتعتبر شاقولية نحو الأسفل دوما" وتقدر بـ النيوتن وهذه القوة ( الثقل ) = الكتلة × شعاع تسارع الجاذبية الأرضية .
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: اوجد معادلة الدائرة التى تمر بالتقطة (0,2)وتمس كلا من محور الصادات و المستقيم ص=1 (اجد جميع المجاهيل الممكنة)
حسب الشكل لا يوجد سوى حالة واحدة فقط
عندما يكون مركز الدائرة ( 1 , 0 )
ونصف قطرها = 1
معادلة الدائرة : ( س – 1 )2 + ص2 = 1
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: ABC مثلث فيه :a+b=13 , c=7 , جذر3=r اوجد a,b ارجو الرد بسرعة وشكرا....
 
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: ارجو منك يا استاذي الكريم ان تشرح لي وبطريقة مبسطةكيفية رسم الخط البياني لتابع ما مع ذكر مثال وشكرا جزيلا
عزيزي الخطوط البيانية تختلف من تابع لآخر طبقا" لنوعية التابع ولكن أهم خطوات رسم الخطوط البيانية تعتمد على المراحل التالية :
1-
معرفة مجال استمرار التابع ( مجموعة تعريفه )
2-
معرفة ما إذا كان التابع يملك نقط مميزة ( إن وجدت )
(
مثل : القيم الكبرى والصغرى محليا" ونقط الانعطاف ونقط التقاطع مع المحورين ) بالاضافة للمستقيمات المقاربة ( إن وجدت )
3-
يتم الوصل بين النقاط المميزة مع الأخذ بعين الاعتبار
(
تزايد وتناقص التابع , تقعر الخط البياني ) ملاحظة : هناك توابع تعتبر شهيرة وخطوطها البيانية شهيرة في المرفق يوجد خطوط بيانية لتوابع شهيرة يرجى الاطلاع وإذا أحببت أمثلة إضافية بشرح موسع أكثر فأنا جاهز
 
* خطوط بيانية لتوابع مألوفة :
* لاحظ :
     1-منحني التابع الصحيح من الدرجة الثانية ( قطع مكافئ ) متناظر بالنسبة للمستقيم الموازي لمحور العينات والمار من
         النقطة الموافقة لقيمته الكبرى ( أو الصغرى ) محليا" ( وهذا ينطبق على منحني التجيب ) .
     2- منحني التابع الصحيح من الدرجة الثالثة متناظر بالنسبة للنقطة التي تعدم f¢¢  ( وهذا ينطبق على منحني الجيب)
     3- إذا كان f   قابل للاشتقاق عند النقط الموافقة لقيمه الكبرى أو الصغرى محليا" فإن خطة البياني يقبل مماسا" موازيا"
         لمحور السينات في تلك النقط .
     4- كل خط بياني ( C ) لتابع كسري تناظري يملك مستقيمين مقاربين أحدهما يوازيx¢ x والآخر يوازيy¢ y  .
         ويكون التابع إما متناقص تماما" ويرسم فرعاه في الربعين الأول والثالث بالنسبة لمقاربيه أو متزايد تماما" ويرسم
         فرعاه في الربعين الثاني والرابع بالنسبة لمقاربيه . ( C يمثل قطع زائد متساوي الساقين منسوبا" لمقاربيه )
* استنتاج خطوط بيانية بالاستفادة من الخط البياني ( C ) للتابع f   :
     1) لإيجاد الخط البياني للتابع |f ( x ) |
          نحافظ على نقاط ( C ) التي ترتيبها موجب ونأخذ نظير النقاط التي ترتيبها سالب بالنسبة إلى محور السينات .  
     2) الخط البياني للتابع y = - f ( x ) هو نظير ( C ) بالنسبة إلى محور السينات .
     3) الخط البياني للتابع y = f ( - x ) هو نظير ( C ) بالنسبة إلى محور العينات .
     4)الخط البياني للتابع y = - f ( - x ) هو نظير ( C ) بالنسبة إلى مبدأ الاحداثيات .
     5)الخط البياني للتابع  y = f ( x ) + a   ينتج عن ( C ) بانسحاب شعاعه  u= a . j
     6)الخط البياني للتابع y = f ( x + a )   ينتج عن ( C ) بانسحاب شعاعه  u= - a . i
 * ملاحظة : لإيجاد احداثيي نقطة ثابتة تمر منها مجموعة منحنيات نأخذ قيمتين للوسيط ونساوي بين التابعين الناتجين
                 ونحسب فاصلة تلك النقطة ثم نعوض في علاقة الربط لمجموعة التوابع الوسيطية فنحسب ترتيبها .
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: ياريت يااستاذي تعطيني شرح مفصلأكثر وبعض الامثلة لانو ماعندي عنها أي خلفية
على الرحب والسعى هي خمس تمارين محلولة أتمنى تستفيد منهم وأنا جاهز لأي استفسار أو سؤال مع تحيتي
  تمرينات محلولة :
التمرين الأول : ليكن ( C ) الخط البياني للتابع f   المعرف على R وفق :f ( x ) = x24 x +    
1) أثبت أن ( C ) متناظر بالنسبة إلى المستقيم الذي معادلتهx =   .
2) ادرس تغيرات f  على المجال[ 2 , + ¥ [  .
3) ادرس تقعر جزء ( C ) على المجال[ 2 , + ¥ [  .
4) ارسم جزء ( C ) على المجال[ 2 , + ¥ [  ثم استفد من الصفة التناظرية لإتمام رسم ( C ) .
5) استنتج رسم الخط البياني ( C1 ) للتابع   y1 = ô f ( x )ô
6) استنتج رسم الخط البياني ( C2 ) للتابع y2 = - f ( x )
7) استنتج رسم الخط البياني ( C3 ) للتابع  y3 = x2 + 4 x + 3
8) استنتج رسم الخط البياني ( C4 ) للتابع y4 = x21  
1 ) x Î R Þ 2 x0 x = 4 x Î R … (1)
f  ( 2 x0 - x ) = f ( 4 x ) = ( 4 x )2 - 4 ( 4 x ) + 3 = x24 x + 3 =  f ( x )  … (2)
    2 ) f ( 2 ) = - 1  , lim   f ( x ) = + ¥
 x          + ¥      
f¢( x ) = 2 x 4 = 0 Þ x = 2 f  ( 2 ) = - 1
4 ) a ( 2 , - 1 ) , b ( 3 , 0 ) , c ( 4 , 3 )
نكمل رسم ( C ) بأخذ نظير كل من النقطتين b , c بالنسبة للمستقيم .
5 ) y1 = f ( x ) : f ( x ) ³ 0 Þ x Î ] - ∞, 1 ] U [ 3 , + ∞ [
y1 = - f ( x ) : f ( x ) £ 0 Þ x Î [ 1 , 3 ]
6 ) y2 = - f ( x )
الخط البياني ( C2 ) هو نظير ( C ) بالنسبة للمحور x¢ x .
7 ) y3 = x2+ 4 x + 3 = ( - x )24 ( - x ) + 3
الخط البياني ( C3 ) هو نظير الخط ( C ) بالنسبة للمحور y¢y .
8 ) f ( x ) = x24 x + 3 = ( x 2 )21 : y4 = x21 Þ y4 f ( x + 2 )
الخط البياني (C4  ) ينتج عن الخط ( C ) بالانسحاب الذي شعاعه= - 2 i  
التمرين الثاني : ليكن التابع fλ   المعرف على R وفق :fλ ( x ) = x3λ x + λ 1   ( λ وسيط حقيقي )
1) أثبت أنه أيا" كان λ Î R  فإن الخط البياني ( Cλ ) للتابع fλ   يمر بنقطة ثابتة  M يطلب تعيينها .
2) ادرس تغيرات fλ    وادرس جهة تقعر خطه البياني , ثم أوجد معادلة المماس للخط ( Cλ ) في النقطة التي يغير
عندها f¢¢ ( x )   إشارته وارسم كلا" من المماس والخط ( Cλ ) في كل من الحالتين :
a) λ = 0         b) λ = 3
1 )λ = 0 Þ f0 ( x ) = x31
x31 = x3x Þ x = 1 ,  fλ ( 1 ) = 1 λ+ λ1 = 0            Þ   
λ = 1 Þf1( x) = x3x
 
أيا" كان λ Î R فإن مجموعة الخطوط ( Cλ) تلتقي بنقطة ثابتة M ( 1 , 0 )
 
                                                                           
                   x       - ¥              0                + ¥ 

جهة التقعر
               f¢¢ ( x )             -        0        +            

                                                                                                                o y -             o y +                    
m = f0¢ ( 0 ) = 0 Þ ∆ : y = - 1  
N1 ( 1 , 0 ) , N2 ( - 1 , - 2 )
b ) λ = 0 Þ f3 ( x ) = x33 x + 2  : x Î ] - ¥ , + ¥ [
lim   f3 ( x ) = - ¥   , lim    f3 ( x ) = + ¥
   x          - ¥                x          + ¥
f3¢( x ) = 3 x23 = 3 ( x21 ) = 0  Þ x = - 1 ,  f3 ( - 1 ) = , x = 1 f3 ( 1 ) = 0   
      x       - ¥             - 1              1             + ¥ 
               f¢ ( x )             +       0        -      0       +           
               f3 ( x )                     4                                + ¥
                            - ¥                               0
                   f¢¢( x ) = 6 x = 0 Þ x = 0 f3 ( 0 ) = 2
                x       - ¥              0                + ¥ 

جهة التقعر
               f¢¢ ( x )             -        0        +           

                                     o y -             o y +
M ( 0 , 2 ) : m = f3¢ ( 0 = - 3 Þ ∆ : y 2 = - 3 x
 
 

 

التمرين الثالث : ليكن f التابع المعرف بالقاعدة : f ( x )     x 2      
                                                                  x 1         
1) اوجد مجموعة تعريفه وأثبت أن خطه البياني ( C ) متناظر بالنسبة إلى النقطةM ( 1 , 1 )  .
2) ادرس تغيراته وابحث عن المستقيمات المقاربة لخطه البياني وادرس تقعر ( C ) .
3) ارسم جزء ( C ) على المجال ] - ¥ , 1 [ ثم أكمل الخط ( C ) .
    1 ) x Î ] - ¥ , 1 [ U ] 1 , + ¥ [ 
 
                               لرسم جزء ( C ) على المجال ] - ¥ , 1 [ نستعين بنقطة تقاطعه مع المحور y¢ y وهي( 0 , 2 )
                                                              ولإكمال الخط ( C ) نأخذ نظير تلك النقطة وهي ( 2 , 0 ) بالنسبة لـ M .
التمرين الرابع : ليكن ( C ) الخط البياني للتابع f المعرف على [ 0 , + ¥ [ وفق :f ( x ) = x 2   x
1) ادرس تغيرات f   ونظم جدولا" بها .
2) بين ما للتابع f   من قيم كبرى وصغرى محليا" .
3) ارسم الخط ( C ) .
1 ) f ( 0 ) = ,  f ( x ) = x ( 1       ) Þ  lim    f ( x ) = + ¥
                                    x           x          + ¥
f¢ ( x ) = 1       : x Î ] 0 , + ¥ [ , f¢ ( x ) = 0 Þx = 1 f ( 1 ) = - 1
                      x  
f ( 0 ) = 0                                                                    قيمة كبرى محليا" , f ( 1 ) = - 1 قيمة صغرى محليا" 2 )  
     3 ) x 2   x = 0 Þ x = 2   x : x ³ 0                                                                                                           
          x2 = 4 x Þ x = 0 , x = 4                                                                                                                        
 
التمرين الخامس : ليكن f  التابع المعرف على R وفق :f ( x ) = 2 sin2 x 1
1) ادرس تغيرات f  على المجال[ -  π  ,  π  ]  ونظم جدولا" بها .
2     2                                                     
2) ادرس جهة تقعر خطه البياني ( C ) على المجال ] -  π  ,  π  [  ونظم جدولا" بها .
2     2                                                                              
3) ارسم الخط ( C ) على المجال [ -  π  ,  π  ]  ( معتبرا"= 3  π)
2     2                                                     
4) استنتج الخط البياني ( C1 ) للتابع y1 = cos 2 x   .
1 ) f ( x ) = - cos 2 x f ( -  π  ) = 1  , f (  π  ) = 1                                                                              
                                                        2                    2   
f¢ ( x ) = 2 sin 2 x = 0 Þ 2 x = π k Þ x =  π  k Þ   x = -  π  , x = 0 Þ f ( 0 ) = - 1 , x =  π
                                                                       2                      2                                              2             
       
2 ) f¢¢ ( x ) = 4 cos 2 x = 0 Þ 2 x =  π  + π k Þ x =  π  +  π  k
                                                            2                       4        2
x= -  π  Þ  f( -  π  ) = x=  π  Þ f(  π  ) = 0
            4                4                      4             4          
3 )
 
 
 4 ) y1 = - f ( x )
إذا" ( C1 ) الخط البياني للتابع y1 هو نظير الخط ( C ) بالنسبة للمحور x¢x .            
رياضيات
سؤال: ادرس تغيرات التوابع الآتية ونظم جدولا بها: التابع f المعرف على R{1} وفق 1-^(f(x)=1-2x(x-1
      التابع f المعرف علىR/{ 1 }  وفق : f ( x )    2 x 1  
                                                          x 1
f معرف ومستمر واشتقاقي على  ] - ∞, 1 [ U ] 1 , + ∞ [
   lim f ( x ) = lim f ( x ) = - ∞ , lim f ( x ) = + ∞                                                     
                                                             x          ± ∞        x    <    1                x    >   
                                                         
الأستاذ: عبد الحميد السيد
فيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
 سؤال: كيف يمكننا معرفة ما إذا كان التابع اشتقاقي أوغير اشتقاقي ؟
كل تابع عددي اشتقاقي على مجموعة تعريفه
(
مع بعض الحالات الشاذة ) مثل التابع الأصم ( الجذري ) يكون اشتقاقي على المجال المفتوح لمجموعة تعريفه وبطريقة أخرى يمكن معرفة قابلية الاشتقاق لتابع عند نقطةبتطبيق الشرط المرفق في الملف .( مع تمرين ) ويمكن أيضا" معرفةالمجال الذي يكون التابع قابلا" للأشتقاق عليه من مجموعة تعريف التابع المشتق ( بعد إيجاده )
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: السلام عليكم ماهي الطرق المتبعة لصوغ معادلة المماس لاي خط بياني c
المماس لمنحن هو مستقيم وبالتالي أي شكل لمعادلة المستقيم تصلح لأن تكون معادلة المماس وإليك في الملف المرفق شرح مفصل مع أمثلة وإذا احتجت للمزيد من الشرح أو الأمثلة يمكنك طرحها وأنا سأقوم بتلبية طلبك مع تحياتي
معادلة المماس لمنحني :
N ( x 0 , y 0 ) احداثيي نقطة التماس , ميل المماس = قيمة مشتق التابع عند نقطة التماس أي : m = f ( x 0)
* حالات خاصة :
 1) m = 0Û المماس // o x معادلته : y = y 0             2) m = ±Û المماس // o y معادلته : x = x 0
3) معادلة منصف الربع الأول : y = x    ميله = 1         4) معادلة منصف الربع الثاني : y = - x   ميله = - 1
* قضية : يتماسان منحنيان أو مستقيم ومنحني إذا تحقق الشرطين : 1f1 ( x ) = f2 ( x )    2f1 ( x ) = f2 ( x )
               ويكون ميل المماس المشترك = قيمة أحد المشتقين عند نقطة التماس .
* تذكرة : ميل مستقيم يمر بنقطتين = نسبة فرق العينات إلى فرق السينات أي :   
 مستقيمين متوازيين Ûm1 = m2  , مستقيمين متعامدين Û m1 . m2 = - 1
* ملاحظة : لدراسة تقاطع منحنيين أو منحني ومستقيم أو مستقيمين : نحل جملة معادلتيهما حلا" مشتركا" .
* ملاحظة : أي نقطة تقع على منحني أو مستقيم : تحقق معادلته .
* مثال ( 1 ) :ليكن f التابع المعرف على R وفق : f ( x ) = x2+ b x + c , عين الوسيطين الحقيقين b , c 
ليكون المستقيم d الذي معادلته y = x + 2 مماسا" لخطه البياني C في النقطة A ( 0 , 2 ) .
A Î C Þ 2 = 0 + 0 + c Þ c = 2
f¢ ( x ) = 2 x + b f¢ ( 0 ) = m Þ 0 + b = 1 Þ b = 1
* مثال ( 2 ) :ليكن C الخط الذي معادلته x2 + y24 x + 6 y 12 = 0 في مستوٍ منسوب لمعلم متجانس .
أوجد كل من المماس والناظم للخط C في كل نقطة منه فاصلتها تساوي ( - 1 ) .
x = - 1 Þ 1 + y2 + 4 + 6 y 12 = 0 Þ y2 + 6 y 7 = 0 Þ ( y 1 ) ( y + 7 ) = 0
A ( - 1 , 1 ) , B ( - 1 , - 7 )
2 x + 2 y y¢- 4 + 6 y¢ = 0 Þ y¢( y + 3 ) = 2 x Þ y¢    2 x  

المماس في A 
                                A ( - 1 , 1 ) : m     2 + 1      3   Þ y 1     3  ( x + 1 ) Þ 3 x 4 y + 7 = 0

1 + 3      4                     4                                                                               

الناظم في A 
y 1        4  ( x + 1 ) Þ 4 x + 3 y + 1 = 0

المماس في B 
               3

B ( - 1 , - 7 ) : m     2 + 1         3   Þ y + 7        3  ( x + 1 ) Þ 3 x + 4 y + 10 = 0
                              - 7 + 3         4                        4                 

الناظم في B 
 


y + 7      4  ( x + 1 ) Þ 4 x - 3 y - 17 = 0
                 3
* مثال ( 3 ) : ليكن m عددا" حقيقيا" , وليكن fm التابع المعرف على R وفق :
 
fm ( x )= x3 + m x28 x m                          , وليكن Cm   الخط البياني للتابع fm
    أثبت أن الخطين C0  , C1 يشتركان بنقطتين يطلب تعيين إحداثيي كل منهما وبيان طبيعة هاتين النقطتين بالنسبة إلى
الخطين C0  و C1 ( تماس أو تقاطع ) .

  نقطة تقاطع  n
 

الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
 
رياضيات
سؤال: السلام عليكم أطلب شرح مبسط عن اسس التحويلات النقطيةالمذكورة في آخر درس الدائرة
وعليكم السلامفي المرفق شرح مبسط للتحويلات النقطية المعتمدة في البحثمع أمثلة وتمرينات من درس الدائرة أتمنى أن تستفيد منهمع تحياتي
1 ) الانسحاب  : نطبق الدستورين  حيث   شعاع الانسحاب .
2 ) التحاكي  : نطبق الدستورين   حيث k نسبة التحاك الذي مركزه o .
* ملاحظة : تركيب تحويلين   يعني إيجاد t 1 ثم t 2 حيث تشير العملية ○ لكلمة ( يلي ) .
@ مثال : لتكن الدائرة :   والشعاع :  
أوجد معادلة صورة الدائرة C وفق التحويل  
الحل : نوجد صورة الدائرة وفق التحاك   ثم صورة الدائرة الناتجة وفق الانسحاب  :
5 – في مستو محدث بمعلم متجانس ( o , і , j ) لدينا الشعاع u = 1 . і + 2 . j   ولتكن الدائرة
 أوجد صورة C   وفق انسحاب شعاعه u وأوضح أنها دائرة C'   طبوقة على C .
ثم أوجد معادلتي مماسي C المنبعثين من النقطة M ( - 2 , 0 ) .
 بفرض M ( x , y ) نقطة دارجة من C , M ' ( x' ,  y' ) = t v ( M ) فيكون :
بما أن : R = R' فالدائرتان طبوقتان .
إن مستقيمات المستوي المارة بالنقطة M ( - 2 , 0 ) معادلاتها تعطى بالعلاقتين :
y 0 = m ( x + 2 ) Þ m x y + 2 m = : m Î R … ( 1 ) , x = - 2    … ( 2 )
6 - في مستو محدث بمعلم متجانس ( o , і j  ) لتكن الدائرة :   
 1 ) عين مركز ونصف قطر الدائرة .
 2 ) أوجد صورة C وفق تحاك مركزه مبدأ الإحداثيات o ونسبته 2 .
 3 ) أوجد معادلة كل مماس لـ C يوازي المستقيم   d :  4 x 3 y + 7 = 0 .
         بفرض M ( x , y ) نقطة دارجة من C , M ' ( x' ,  y' ) = h ( o , 2 ) ( M ) فيكون :                2 ) 
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: السلام عليكم كيف يمكننا معرفة معادلة قطع مكافئ بمعرفةثلاث نقاط تنتمي اليه والمحور الموازي له؟
وعليكم السلاميتم معرفة معادلة القطع المكافئ المار من ثلاث نقاط بكتابة الشكل العام لمعادلة القطع بعد معرفة محورهفإذا كان محوره مجهول أيضا" يكون لديناإحدى الحالتين :
1-
نستنتج محوره من الرسم بتمثيل النقاط .
2-
نجرب الشكلين ( مرة محوره يوازي السينات والمرة الثانية يوازي العينات )في المرفق حل لتمرينين أتمنى أن تسفيد منهما وهما من المنهاج مع تحياتي
2 – أوجد معادلة القطع المكافئ في كل من الحالتين الآتيتين :
 1 ) يمر بالنقط M1 ( - 7 , 4 ) , M2 ( - 5 , 5 ) , M3 ( 3 , 29 ) ومحوره يوازي y' y .
 2 ) يمر بالنقط M1 ( - 1 , 2 ) , M2 ( 1 , - 1 ) , M3 ( 2 , 1 ) ومحوره يوازي x' x .
 
 
بطرح ( 2 ) من ( 1 ) نجد :  
بطرح ( 3 ) من ( 1 ) نجد :     
بطرح ( 5 ) من ( 4 ) نجد :  
نعوض في ( 5 ) فنجد :
نعوضهما في ( 3 ) :
معادلة القطع :
بطرح ( 2 ) من ( 3 ) نجد :  
بطرح ( 2 ) مع ( 1 ) نجد :  
نعوض ( 4 ) و ( 5 ) في ( 2 ) فنجد :  
معادلة القطع :
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: السلام عليكم اوجد معادلة القطع المكافئ الذي يمس المحورْْالسيني في الذرو(ةM(3,0 والنقطة M(5,2) تنتمي اليه ؟ الحل: محور القطع
يوازي المحورالصادي وجهة تقعره نحوالجهة الموجبة من المحور المعادلة على الصورة y=ax^2+bx+c نعوض في النقطتين المذكورتين فتنتج
معادلتان نطرحهما فتنتج المعادلة 2=16a+2b هل هذا الحل صحيح وكيف يمكنني اكماله اذا كان صحيحا؟
وعليكم السلام من حيث المبدأ الحل صحيح ولكن هذه الطريقة طويلة والتكملة كما يلي : بما أن القطع يمس المحور السيني فإن للمعادلة
y = 0
حل وحيد ( أي المميز لها = الصفر ) تنتج لك علاقة تعوض فيها سينات نقطة التماس وتحلها مع المعادلة التي استنتجتها لكن أكمل لك هذا الحل بل سأعطيك حل مختصر وأفضل بكثير على النحو التالي : بما أن الذروة معلومة ( نقطة التماس ) وبما أن محور القطع أصبح معلوما" ( المحور يوازي محور الصادات ) إذا" بقي إيجاد وسيط القطع ( لا أعلم ماذا تسمونه عندكم ) إذن نكتب معادلة القطع المكافئ بالشكل النموذجي ونعوض إحداثيات النقطة M التي تقع عليه فنحسب وبكل سهولة قيمة وسيط القطع ثم نعود لتعويضه في المعادلة أنظر إلى الملف المرفق ( من منهاج البكالوريا السورية ) وإذا كانت من خارج سوريا يفضل أن تسأل بموقع خاص ببلدك حرصا" على الطريقة والترميز مع تحياتي
5 – أوجد معادلة قطع مكافئ يمس المحور x' x في الذروة   والنقطة  تنتمي إليه .
 القطع يمس المحور x' x في الذروة أي محوره يوازي y' y , والذروة تقع علىالمحور x' x .
النقطة M تنتمي إلى الربع الأول أي جهة تقعرالقطع نحو y' y الموجبة .
معادلة القطع من الشكل :  أي :
نعوض إحداثيي M فنجد   ومعادلة القطع المطلوب :
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: أوجد معادلة كل قطع مكافئ مماسه في الذروة هي x=-1 ويمر بالنقطتين N1(0,-1) N2(3,5)
6 – أوجد معادلة كل قطع مكافئ معادلة مماسه في الذروة هي x = - 1 ويمر بالنقطتين  .
الذروة تقع على المستقيم x = - 1 أي : x0 = - 1
المماس في الذروة يوازي المحور y' y أي محور القطع يوازي x' x
معادلة القطع من الشكل :  أي :
 
نعوض إحداثيي N1 :  
                                                                             نعوض ( 1 ) في ( 2 ) :
نعوض إحداثيي N2 :
إما :   وبالتالي h = 4 ومعادلة القطع الأول :
أو :  وبالتالي h = 36 ومعادلة القطع الثاني :
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: نعم يا استاذ قصدي ايجاد معادلة قطع مكافئ إذا علم ميل مماسه
عزيزي في المرفق شرح مبسط لطلبك مع تمرين توضيحي من المنهاج إذا كان لديك أي تساؤل أو استفسار انا جاهزأتمنى لك التوفيق
II ) معادلة المماس لقطع مكافئ علم ميله :
@ مثال : ليكنالقطع المكافئالذي معادلته :   عين ذروته ومحرقه ومعادلة دليله
ثم أوجد معادلة المماس لهذا القطع الذي ميله m = - 1   .
 
 
معادلة القطع من الشكل : 
محوره يوازي y' y وجهة تقعره نحو y' y السالبه , وسيطه P = 1   , ذروته
محرقه : , معادلة دليله :
لإيجاد معادلة المماس المعلوم الميل نتبع إحدى الطريقتين :
* طريقة ( 1 ) : ( المشتق : نشتق معادلة القطع ونعوض y1' = m  )
* طريقة ( 2 ) : ( نحل حزمة المستقيمات المتوازية : y = m x + d مع معادلة القطع )
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: عين لكل من القطوع الآتية المركز المحورالمحرقي الذرا المحرقين وارسم القطع y^2+4x^2=1 مالعمل بالنسبة لمعامل الx لانو صورة
معادلة القطع الناقص بتكون المجاهيل معاملها =1 ؟؟؟ g 9y^2=-4(x^2-9) g y^24+x^29=1 هل a=2 ام a=3 لانه عندما ِa=2 اذن c^2=a^2
-b^2يعني 4-9=-5 c^2=-5???? يعني معادلة القطع على الصورة:y^2a^2+x^2^2=1 او على الصورة:x^2a^2+y^2^2=1 ?
بالنسبة لمعادلة القطع الأول با عتبار الطرف الثاني = 1 نقسم بسط ومقام x على 4 أي يصبح مقام x مساويا" ربع ( 1 / 4 )
بالنسبة للسؤال الثاني في معادلة القطع الناقص يكون العنصر a هو الأكبر دوما" فإذا كان مقام x أكبر من مقام y يكون المحور المحرقي موازيا" ( أو منطبقا" ) محور السينات وطبعا" هذا المقام الأكبر يمثل قيمة a والمقام الأصغر يمثل قيمة b ويحسب العنصر c من علاقة العناصر
طبعا" أنا لم احل لك التمرينين بل أعطيتك شرح مفيد للحل في حال عدم استيغابك لما شرحت لك راسلني كي أرفق لك ملف فيه الحل بشكل مفصل مع تحياتي
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: بالنسبة لرسم القطع الناقص هل نتبع الطريقة المكتوب عليها للاطلاع (رسم القطع الناقص نقطيا ) ام ماذا ؟ لانو طريقة رسمو نقطيا صعبة وما عم تزبط معي لانو بدها دقة كتيير
ما في داعي لاتباع طريقة الكتاب في رسم القطع الناقص
ارسمه بكل سهولة كما يلي :
حدد ذراه في المستوي ثم صل بين تلك النقاط الأربعة على مهل
حاول تقليد شكل القطع وستنتجح برسمه بعد تكرار كم مرة بس

وبطريقة أخرى :
عين مركز القطع ثم حدد محوره المحرقي
بعدها خذ على المحور المحرقي وعلى طرفي المركز بعدين متساويين كل منهما يساوي a
وخذ على المحور اللامحرقي وعلى طرفي المركز بعدين متساويين كل منهما يساوي b

وهناك عدة طرق أخرى للرسم ولكن الطريقتين السابقتين أبسط شي
مع تحياتي
الأستاذ: عبد الحميد السيد
فيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: طريقة نشر الأقواس للمعادلة النموذجية للقطع الناقص بلتفصيل لنحصل على الشكل العام لمعادلةقطع ناقص
عزيزي الطريقة بسيطة جدا" تعتمد على فك المتطابقات ثم الاختزال وبعدها التوضيب بالشكل النهائي وهي مشروحة بشكل بسيط وسهل في الكتاب المقررراجع الدرس وستكتشف بنفسك سهولة النشر مع تحياتي
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: السلام عليكم في مستو منسوب الى معلم متجانس اكتب معادلة القطع الناقص في الحالة التالية: 4- مساحة القطع الناقص 15ط/4 ,C=2
المحور المحرقي يوازي Xََََ`X ومركز القطع (2,3) تمرين رقم 1 الفقرة الرابعة
4 ) مساحة القطع الناقص =   المحور المحرقي يوازي x' x ومركز القطع  .
     مستحيل      
 
 
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: اطلب شرحاُمبسطا عن الناظم
الناظم : هو مستقيم عمودي على المماس للخط البيانيوبالتالي معادلته تطابق معادلة المماس مع اختلاف وحيد أن ميله = ناقص مقلوب ميل المماسفإذا كنت تعرف ايجاد معادلة المماس لخط بيانيبكل سهولة تستطيع كتابة معادلة الناظم
(
انتبه لميل الناظم = ناقص مقلوب ميل المماس ) أعتقد أن الشرح بسيط جدا" تمنياتي لك بالتوفيق
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: السلام عليكم اريد شرحا وافيا عن قوانين النهايات يعني متتي تكون نهاية تابع ما تساوي الصفر اوعدد محدد او موجب ما لا نهاية او سالب ما لانهاية وما علا قتها بالمستقيمات المقاربة؟ وشكرا
* لإيجاد نهاية تابع f ( x ) = y في الحالتين :
1) عندما  x        قيمة معينة :نعوض قيمة  x  في التابع .
2) عندما ) -       x أو   +       x( نميز الحالات الآتية:
1-  f صحيح :نعوض  +أو  -بأكبر أس لـ  x .
2-  f كسري بسطه ومقامه توابع صحيحة نميز :
a - درجة البسط < درجة المقام :f         0 
  b- درجة البسط > درجة المقام :  - أو  +          f
  c - درجة البسط = درجة المقام :  أمثال أكبر أس         f
                                             أمثال أكبر أس
* حالات عدم التعيين ( سبعة ) :
0  ,    ,  0 ×  ,  - ,  ( 1) , ( 0 )0 , ( ∞)0   تزال بعدة طرق كما سنرى لاحقا" .
0        ∞ 
* تذكرة :  عدد ¹0     ( مع مراعاة الإشارة ),    0          0   عدد      0  ,          ( مع مراعاة الإشارة )
       0                                            عدد ¹0                              عدد
* المستقيمات المقاربة :
1) المقارب الموازي للمحور x¢ x  :
* تعريف :ليكن ( C  ) الخط البياني للتابع  f ( x )y =,وليكن مستقيما" موازيا" للمحور x¢x معادلته : y = h
يكون المستقيم مقارب للخط ( C  ) إذا كان lim f ( x ) = h  عندما تسعى x إلى + ¥ ( أو إلى- ¥ )
* ملاحظة :لمعرفة وضع الخط ( C  ) بالنسبة إلى المستقيم// x¢x   أو مائل ندرس إشارة الفرق :f ( x ) – y
فإذا كان موجبا" يكون ( C  ) فوق , وإذا كان سالبا" يكون ( C  ) تحت .
- بطريقة ثانية : إذا كان f¢¢  > 0   يكون C  تحت D , وإذا كان f¢¢< 0   يكون C  فوق D . ( حيث D مقارب أو مماس )
* تمرين محلول :ليكن f  التابع المعرف على] 0 , + ¥ [  وفق :f ( x )       2 
                                                                                      X                            
بين هل توجد مستقيمات مقاربة لخطه البياني ( C  ) موازية لمحور السينات ؟
lim f ( x ) = 0 أي : y = 0  D مقارب للخط ( C  ) منطبق على x¢x+ .
x        + ¥
 
نلاحظ أن : f ( x ) – y > 0 على المجال] 0 , + ¥ [  إذا" ( C  ) يقع فوق D .
2) المقارب الموازي للمحور y¢ y   :
* تعريف :ليكن ( C  ) الخط البياني للتابع  f ( x )y =,وليكن مستقيما" موازيا" للمحور y¢y معادلته : x = h
يكون المستقيم مقارب للخط ( C ) إذا كان lim f ( x ) = ±¥ عندما تسعى x إلىh (من اليمين او اليسار)
* ملاحظة :لمعرفة وضع ( C ) بالنسبة لـ// y¢y  إذا كان x > x فإن ( C ) يقع على يمين . والعكس بالعكس .
* تمرين محلول :ليكن f  التابع المعرف على] 1 , + ¥ [  وفق :f ( x )         2        
                                                                                     x – 1         
أثبت أن المستقيم x = 1   مقارب لخطه البياني ( C ) .
lim f ( x ) = + ¥ أي : x = 1  D مقارب للخط ( C  ) ونلاحظ أن : x > 1 أي ( C) يقع على يمين المقارب .
            x    >    1      
* ملاحظة : كل خط بياني ( C ) لتابع كسري تناظري يملك مستقيمين مقاربين أحدهما يوازيx¢x والآخر يوازيy¢y  .
ويكون التابع إما متناقص تماما" ويرسم فرعاه في الربعين الأول والثالث بالنسبة لمقاربيه أو متزايد تماما" ويرسم
فرعاه في الربعين الثاني والرابع بالنسبة لمقاربيه . ( C يمثل قطع زائد متساوي الساقين منسوبا" لمقاربيه )
 
* تمرين محلول : ليكن ( C ) الخط البياني للتابع f  المعرف على ] - ¥ , 0 [ U ] 0 , + ¥ [ : f ( x )     x + 1
                                                                                                                           X       
أثبت أن لخطه البياني ( C ) مقاربين أحدهما يوازي المحور x¢x والآخر منطبق على المحور y¢ y .
وبين وضع ( C ) بالنسبة إلى هذين المقاربين .
lim f ( x ) = 1 Þ 1y = 1 // x¢x-
                             x        - ¥                
lim f ( x ) = 1 Þ 1y = 1 // x¢x+
                                  x        + ¥    
lim f ( x ) = - ¥ أي : x = 0   2 مقارب منطبق على y¢y
          <     0        
lim f ( x ) = + ¥ أي : x = 0  D 2 مقارب منطبق على +y¢y
            >     0                              
نلاحظ أن :f ( x ) – y     x + 1    1     1  
                 x             x  
في المجال ] - ¥ , 0 [ : f ( x ) – y < 0 , x < 0   الفرع ( C1) يقع تحت 1   وإلى يسار  2 .
في المجال ] 0 , + ¥[ : f ( x ) – y > 0 , x > 0   الفرع ( C2) يقع فوق 1   وإلى يمين  2 .
 
3) المقارب المائل :
* تعريف :ليكن ( C  ) الخط البياني للتابع  f ( x )y =,وليكن مستقيما" مائلا" معادلته : y = m x + h  
يكون  مقارب للخط ( C  ) إذا كانت :lim [  f ( x ) – y ] = 0  عندما تسعى x إلى + ¥ ( أو- ¥ )
* مثال ( 1 ) :أثبت أن المستقيم ∆ : y = 2 x   مقارب للخط البياني ( C ) للتابع f ( x ) =    4 x24   عند + ¥
  وبين وضع ( C ) بالنسبة لـ  .
  f ( x ) – y < 0          ÜC ) يقع تحت 
 
* ملاحظة :كل تابع f ( x ) = a x + b + g ( x ) ويحقق  lim g ( x ) = 0 عندما تسعى x إلى + ¥ ( أو- ¥ )
  يقبل خطه البياني المستقيم y = a x + b   مقاربا" مائلا" .
* مثال ( 2 ) : ليكن ( C  ) الخط البياني للتابع f   المعرف على ] - ¥ , 1 [ وفق : f ( x ) = 2 x + 3 +       1    
                                                                                                         1 x    
أثبت أن المستقيم   الذي معادلته : y = 2 x + 3   مقارب للخط ( C  ) وبين وضع ( C  ) بالنسبة لـ .
  f ( x ) – y > 0          ÜC ) يقع فوق 
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
 
سؤال: تقع رؤوس مستطيل على دائرة طول نصف قطرها يساوي 3 اوجد بعدي المستطيل عندما يكون محيطه اكبر مايمكن؟ الحل : p=2X+2Y و
X^2+Y^2=36 Y=ROOT36-X^2 نعوض في العلاقة الاولى P(X)=2(ROOT36-X^2)+2X ندرس تغيرات التابع على المجال]0,6[ نهاية التابع
عندماX>0=0 نهاية التابع P عندما X<6=0 P`(X)=-X+1ROOT 36-X تنعدم المشتقة عندما X=1 P(1)=2(ROOT36-X)+2 هل هذا الحل صحيح
؟وماهي الاخطاء وهل يمكن ان تساعدي في اكمال الحل
تقع رؤوس مستطيل على دائرة نصف قطرها ( 3 ) , أوجد بعدي هذا المستطيل عندما يكون محيطه أكبر ما يمكن
الحل :بفرض x , y بعدي المستطيل فيكون محيطه P = 2 x + 2 y حيث 0 < y < 6 , 0 < x < 6
 
                                                                                                                        x2+ y2 = 36 Þ y =   36 x2 > 0
                                P ( x )= 2 x + 2   36 x2
P¢ ( x )= 2 +      - 2 x    = 0 Þ x =   36 x2Þ x2= 36 x2Þ x = 3   2 = y , P = 12   2
                                                                                                                         36 x2
     يبلغ المحيط أكبر قيمة عندما : x = y = 3   2   
 
 
 
 
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
 
سؤال: السلام عليكم أؤيد شرحا مفصلا عن كيفية ايجاد النهايات للتوابع مع بعض الأمثلة على كل حالة ؟وماذا نعني بدرجة البسط أو درجة المقام ؟كيف نعرفها؟
* لإيجاد نهاية تابع f ( x ) = y في الحالتين :
1) عندما  x        قيمة معينة :نعوض قيمة  x  في التابع .
2) عندما ) -       x أو   +       x( نميز الحالات الآتية:
1-  f صحيح :نعوض  +أو  -بأكبر أس لـ  x .
2-  f كسري بسطه ومقامه توابع صحيحة نميز :
 a - درجة البسط < درجة المقام :f         0
b - درجة البسط > درجة المقام :  - أو  +          f
- درجة البسط = درجة المقام :  أمثال أكبر أس         f
                                          أمثال أكبر أس
* حالات عدم التعيين ( سبعة ) :
  0  ,    ,  0 ×  ,  - ,  ( 1) , ( 0 )0 , ( ∞)0   تزال بعدة طرق كما سنرى لاحقا" .
 0        ∞
* تذكرة :  عدد ¹0     ( مع مراعاة الإشارة ),    0          0   عدد      0  ,          ( مع مراعاة الإشارة )
                   0                                            عدد ¹0                              عدد
* المستقيمات المقاربة :
1) المقارب الموازي للمحور x¢ x  :
* تعريف :ليكن ( C  ) الخط البياني للتابع  f ( x )y =,وليكن مستقيما" موازيا" للمحور x¢x معادلته : y = h
يكون المستقيم مقارب للخط ( C  ) إذا كان lim f ( x ) = h  عندما تسعى x إلى + ¥ ( أو إلى- ¥ )
* ملاحظة :لمعرفة وضع الخط ( C  ) بالنسبة إلى المستقيم// x¢x   أو مائل ندرس إشارة الفرق :f ( x ) – y  
فإذا كان موجبا" يكون ( C  ) فوق , وإذا كان سالبا" يكون ( C  ) تحت .
- بطريقة ثانية : إذا كان f¢¢  > 0   يكون C  تحت D , وإذا كان f¢¢< 0   يكون C  فوق D . ( حيث D مقارب أو مماس )
 
* تمرين محلول :ليكن f  التابع المعرف على] 0 , + ¥ [  وفق :f ( x )       2 
                                                                                     X
بين هل توجد مستقيمات مقاربة لخطه البياني ( C  ) موازية لمحور السينات ؟
lim f ( x ) = 0 أي : y = 0  D مقارب للخط ( C  ) منطبق على x¢x+ .
       x        + ¥        
نلاحظ أن : f ( x ) – y > 0 على المجال] 0 , + ¥ [  إذا" ( C  ) يقع فوق D .
 
2) المقارب الموازي للمحور y¢ y   :
* تعريف :ليكن ( C  ) الخط البياني للتابع  f ( x )y =,وليكن مستقيما" موازيا" للمحور y¢y معادلته : x = h
يكون المستقيم مقارب للخط ( C ) إذا كان lim f ( x ) = ±¥ عندما تسعى x إلىh (من اليمين او اليسار)
* ملاحظة :لمعرفة وضع ( C ) بالنسبة لـ// y¢y  إذا كان x > x فإن ( C ) يقع على يمين . والعكس بالعكس .
* تمرين محلول :ليكن f  التابع المعرف على] 1 , + ¥ [  وفق :f ( x )         2   
                                                                                    x – 1         
أثبت أن المستقيم x = 1   مقارب لخطه البياني ( C ) .
 lim f ( x ) = + ¥ أي : x = 1  D مقارب للخط ( C  ) ونلاحظ أن : x > 1 أي ( C) يقع على يمين المقارب .
            x    >             
* ملاحظة : كل خط بياني ( C ) لتابع كسري تناظري يملك مستقيمين مقاربين أحدهما يوازيx¢x والآخر يوازيy¢y  .
ويكون التابع إما متناقص تماما" ويرسم فرعاه في الربعين الأول والثالث بالنسبة لمقاربيه أو متزايد تماما" ويرسم
فرعاه في الربعين الثاني والرابع بالنسبة لمقاربيه . ( C يمثل قطع زائد متساوي الساقين منسوبا" لمقاربيه )
* تمرين محلول : ليكن ( C ) الخط البياني للتابع f  المعرف على ] - ¥ , 0 [ U ] 0 , + ¥ [ : f ( x )     x + 1
                                                                                                                         X
أثبت أن لخطه البياني ( C ) مقاربين أحدهما يوازي المحور x¢x والآخر منطبق على المحور y¢ y .
وبين وضع ( C ) بالنسبة إلى هذين المقاربين .
 lim f ( x ) = 1 Þ 1y = 1 // x¢x-
                                          x        - ¥        
 lim f ( x ) = 1 Þ 1y = 1 // x¢x+ 
                                         x        + ¥    
lim f ( x ) = - ¥ أي : x = 0   2 مقارب منطبق على y¢y
         <          
lim f ( x ) = + ¥أي : x = 0  D 2 مقارب منطبق على +y¢y
            >          
نلاحظ أن :f ( x ) – y     x + 1    1     1  
                 X            x                                                                          
في المجال ] - ¥ , 0 [ : f ( x ) – y < 0 , x < 0   الفرع ( C1) يقع تحت 1   وإلى يسار  2 .
في المجال ] 0 , + ¥[ : f ( x ) – y > 0 , x > 0   الفرع ( C2) يقع فوق 1   وإلى يمين  2 .
 
3) المقارب المائل :
* تعريف :ليكن ( C  ) الخط البياني للتابع  f ( x )y =,وليكن مستقيما" مائلا" معادلته : y = m x + h
يكون  مقارب للخط ( C  ) إذا كانت :lim [  f ( x ) – y ] = 0  عندما تسعى x إلى + ¥ ( أو- ¥ )
* مثال ( 1 ) :أثبت أن المستقيم ∆ : y = 2 x   مقارب للخط البياني ( C ) للتابع f ( x ) =    4 x24   عند + ¥
وبين وضع ( C ) بالنسبة لـ  .
  f ( x ) – y < 0ÜC ) يقع تحت  
* ملاحظة :كل تابع f ( x ) = a x + b + g ( x ) ويحقق  lim g ( x ) = 0 عندما تسعى x إلى + ¥ ( أو- ¥ )
يقبل خطه البياني المستقيم y = a x + b   مقاربا" مائلا" .
* مثال ( 2 ) : ليكن ( C  ) الخط البياني للتابع f   المعرف على ] - ¥ , 1 [ وفق : f ( x ) = 2 x + 3 +       1    
                                                                                                          1 x   
                     أثبت أن المستقيم   الذي معادلته : y = 2 x + 3   مقارب للخط ( C  ) وبين وضع ( C  ) بالنسبة لـ
 
  f ( x ) – y > 0          ÜC ) يقع فوق 
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
 
رياضيات
 
سؤال: ارجو حل تدريب رقم3 صفحة 92 ولكم جزيل الشكر
]3[ ليكن f  التابع المعرف على R / { 1 } وفق    خطه البياني C :
1) أثبت أن f ( x ) يكتب بالشكل    حيث c , b , a   أعداد حقيقية .
2) أثبت أن الخط البياني C للتابع f يقبل مستقيمين مقاربين أحدهما يوازي المحور y¢ y والآخر مائل معادلته
y = a x + b . يطلب إيجاد معادلة كل منهما  ودراسة وضع  C بالنسبة إلى كل منهما .
3 ) ادرس تغيرات f ونظم جدولا" بها .
4 ) ارسم كل مقارب وجدته ثم ارسم C .
1 ) نقسم البسط على المقام فنجد :
                    
2  ومنه x = 1   مقارب يوازي المحور y' y بجوار - ∞ ويقع C إلى يسار هذا المقارب .
 ومنه x = 1   مقارب يوازي المحور y' y بجوار + ∞ ويقع C إلى يمين هذا المقارب .
عندما x Î ] - ¥ , 1 [ يكون : f ( x ) – y < 0    أي : C يقع تحت 
عندما x Î ] 1 , + ¥[ يكون : f ( x ) – y > 0    أي : C يقع فوق  .  
 3 )   
 
4 ) نقطة مساعدة : 
 
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
 
رياضيات
سؤال: أرمن الأستاذ الفاضل الإجابة وبي سرعة على السؤلاين في كتاب التحليل الرياضي رقم 7و8 صــ109ــ
]7[ ليكن f  التابع المعرف على R / { 1 } وفق :    
1) عين a , b  ( الوسيطين الحقيقيين ) ليكون للتابع f  قيمة كبرى محليا" مساوية الصفر عند x = - 1  .
2) أثبت أن التابع f  المحقق لما ورد في (1) يقبل أيضا" قيمة صغرى محليا" يطلب تعيينها وقيمة x الموافقة لها .
 
للتابع قيمة صغرى محليا" f ( 3 ) = 8   توافق النقطة ( 3 , 8 )
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
[ 8 ] ليكن f التابع المعرف والاشتقاقي على R وفق :  وليكن  
أثبت أن الشرط اللازم والكافي ليقبل f  قيمتين محليتين كبرى وصغرى هو : a Î R / D
الحل : حتى يقبل f  قيمتين محليتين يجب أن يكون f¢ ( x ) = 0   ويغير إشارته عند قيمتين مختلفتين لـ x .
f¢ ( x ) = 3 x23 ( a 1 ) x + 3 = 0 Þ  x2 –  ( a 1 ) x + 1 = 0
∆ = ( a 1 )24 > 0 Þ ( a 1 )2 > 4 Þ - 2 > a 1 > 2 Þ - 1 > a > 3 Þ x Î R / D
 
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: اعاني من مشكلة في اشتقاق التوابع الكسرية التي تحتوي على جذور في البسط أو المقام لأو في كليهما معا بدي شوية تدريبات مع شرح مفصل لاني مو دارسة عاشر أو حادي عشر
مشتق التوابع الكسرية يعتمد على قاعدة محددة هي : مشتق كسر = ( مستق البسط × المقام - مشتق المقام × البسط ) / مربع المقام في المرفق قواعد الاشتقاق مع أمثلة أتمنى أن تستفيدي منها مع تحياتي
مشتق العدد الثابت = الصفر : ( مشتق المتحول = 1 )
مشتق مجموع توابع = مجموع مشتقاتها
مشتق جداء تابعين =مشتق الأول × الثاني+مشتق الثاني ×الأول
مشتق كسر    مشتق البسط × المقام – مشتق المقام × البسط
                   مربع المقام
مشتق قوة = القوة ( الأساس )القوة ــ 1× مشتق الأساس
مشتق جذر تربيعي      مشتق ما تحت الجذر
                          ضعفي الجذر
مشتق الجيب = مشتق الزاوية × تحب ( نفس الزاوية )
مشتق التجيب = ــ مشتق الزاوية × حب ( نفس الزاوية)
مشتق الطل         مشتق الزاوية           مشتق الزاوية ( 1 + طل2 نفس الزاوية )
                                            تحب2 ( نفس الزاوية )   
مشتق التطل      ــ مشتق الزاوية            - مشتق الزاوية ( 1 + تطل2 نفس الزاوية )
                                            حب2 ( نفس الزاوية )    
@ مثال ( 1 ) :أوجد قاعدة الربط للتابع المشتق للتابع : 
                                                               
  @ مثال ( 2 ) :أوجد قاعدة الربط للتابع المشتق للتابع : 
معادلة المماس لمنحن
     M ( x 0 , y 0 ) احداثيي نقطة التماس ( الواقعة على المنحني )
     ميل المماس = قيمة مشتق التابع عند نقطة التماس أي : m = f ( x 0) = tan θ حيث θ زاوية المماس مع x' x .   
 * حالات خاصة :
     1m = 0Û المماس يوازي x ' x معادلته : y = y 0      2m = ±Û المماس يوازي y' y معادلته : x = x 0   
    3) معادلة منصف الربع الأول : y = x  ,ميله= 1         4) معادلة منصف الربع الثاني : y = - x ,ميله = - 1 
 * قضية : يتماس منحنيان أو مستقيم ومنحني إذا تحقق الشرطين :
1) f1 ( x ) = f2 ( x )        2) f1 ( x ) = f2 ( x )
               ويكون ميل المماس المشترك= قيمة أحد المشتقين عند نقطة التماس .
 * تذكرة : ميل مستقيم يمر بنقطتين = نسبة فرق العينات إلى فرق السينات أي :  
               مستقيمين متوازيين Ûm1 = m2 , مستقيمين متعامدين Û m1 . m2 = - 1 
 * ملاحظة ( 1 ) : لدراسة تقاطع منحنيين أو منحني ومستقيم أو مستقيمين : نحل جملة معادلتيهما حلا" مشتركا" .
 * ملاحظة ( 2 ) : أي نقطة تقع على منحني أو مستقيم :تحقق معادلته .
 
@ تدريب ( 1 ) :ليكن C الخط الذي معادلته x2 + y24 x + 6 y 12 = 0 في مستو ٍ منسوب لمعلم متجانس .
                      أوجد معادلة كل من المماس والناظم للخط C في كل نقطة منه فاصلتها تساوي ( - 1 ) .  
     x = - 1 Þ 1 + y2 + 4 + 6 y 12 = 0 Þ y2 + 6 y 7 = 0 Þ ( y 1 ) ( y + 7 ) = 0
     A ( - 1 , 1 ) , B ( - 1 , - 7 )
 

المماس في A :  
 

الناظم في A :

المماس في B :  

الناظم في B:  

   @ تدريب ( 2 ) : أوجد التابع المشتق لكل تابع من التوابع الآتية والمعين بقاعدة ربطه : 
 
 
 
 
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
رياضيات
سؤال: ما مشي الحال بدي شرح أكثر لإيجاد النهايات مع امثلة يعني شلون نوجد نهاية تابع كسري أو تابع جذري بالتفصيل بدون حذف خطوات يعني مو القانون بس بدي تطبيق عملي عليه والمستقيمات المقاربة ما عندي فيها مشكلة
في المرفق شرح لإيجاد نهاية تابع عددي مع عدة أمثلة أتمنى أن تستفيد منها وإذا مازال لديك لبس في الموضوع أتمنى أن تطرح التمارين التي تسبب لك مشاكل لكي أشرحها لك بالتفصيلمع تحياتي
* لإيجاد نهاية تابع f ( x ) = y في الحالتين :
 1 ) عندما  x تسعى إلى قيمة معينة :نعوض قيمة  x  في التابع .
 2 ) عندما )x تسعى إلى -  أو   + )  نميز الحالات الآتية:
      1-  f صحيح :نعوض  +أو  -بأكبر أس لـ  x . 
      2-  f كسري بسطه ومقامه توابع صحيحة نميز :
             a - درجة البسط < درجة المقام :  f ينتهي إلى الصفر ( 0 )
             b - درجة البسط > درجة المقام :f يسعى إلى أو 
             c - درجة البسط = درجة المقام : f ينتهي إلى قيمة     أمثال أكبر أس   
                                                                                                   أمثال أكبر أس
 * حالات عدم التعيين ( سبعة ) :
       0  ,    ,  0 ×  ,  - ,  ( 1) , ( 0 )0 , ( ∞)0   تزال بعدة طرق كما سنرى لاحقا" .
       0        ∞ 
 * تذكرة :  عدد ¹0     ( مع مراعاة الإشارة ),    0          0   عدد      0  ,          ( مع مراعاة الإشارة )
                     0                                            عدد ¹0                              عدد
 @ أمثلة محلولة : أوجد نهاية التابع f المعين بقاعدة ربطه في الحالات الآتية :
         1 )  عندما :   x    <     2  , x           - ∞     
         2 )  عندما : x           + ∞ , x           1            
         3 )  عند : ( + ∞ ) وعند ( 3) وعند ( 2)
@ مثال : ليكن التابع f المعين وفق :   
 الحل : التابع معرف ومستمر على = ] - ∞ , 2 [ υ ] 2 , + ∞ [  R / { 2 }  
 
 تمرينات محلولة :  
  @ تمرين ( 1 ) :ليكنC الخط البياني للتابعf   المعرف على  [ 0 , + ∞ [ وفق :   
                         ادرس قابلية اشتقاق f  عند  x = 0  . 

 التابع غير اشتقاقي عند x = 0   

 
- - - - - - - -
@ تمرين ( 2 ) :ليكن التابعين :   
     1) عين مجموعة تعريف كل من التابعين . 
     2) أوجد  lim f ( x ) عند  1, وعند  + .
     3) أوجد  lim g ( x ) عند  + .   
-----------------
تدريب :  أوجد نهاية التابع f المعين بقاعدة ربطه في كل من الحالات الآتية :
 حل التدريب :
الأستاذ: عبد الحميد السيدفيزياء-كيمياء-رياضيات
 


 ⋅